數學一點也不無聊: 二元一次方程式

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2020年10月12日星期一

[教學活動]兩步驟一元一次方程式閃卡（搭配單元：一上一元一次方程式）

活動名稱：兩步驟一元一次方程式閃卡

活動器材：題答閃卡
活動時間：半節課至一節課
適合單元：任何可心算之基礎題型（本篇用於解一元一次方程式）
與教學內容關聯性：★★★★★
趣味性：★★★★
教師操作難度：★
孩子操作難度：★★
活動可套用性：★★★★★
推薦度：★★★★★

設計構想：

所謂二步驟方程式（Two-steps equations），
就是使用兩次等量公理可以解出未知數之方程式。
熟練後對國中數學學習助益非常的大，
在教學上可以作為練習及補救教學，因此設計了110題的題卡。

全部有110題，
這面十題都是一次項係數為3的題目。

我這次用200P彩紙印了5份，共550張題卡。
大約要花1小時半才能裁完。
真是一件辛苦的工作，但是完成的題卡可以使用好幾屆，
也是畢其功於一役。

終於裁完550張紙卡了，
接下來還有截角的工作要完成。

全部完工

2019年4月10日星期三

[教學活動]羅賓漢傳奇（搭配單元：一下過兩點的直線方程式）

活動名稱：羅賓漢傳奇
活動時間：一堂課
運用概念：過兩點的直線方程式
所需器材：學習單、紙筆、撲克牌。
與教學內容關聯性：★★★★★
趣味性：★★★
教師操作難度：★
學生操作難度：★★★
活動可套用性：★★
推薦度：★★★★
設計記錄：
先前在網路上看到這個教學活動時，
覺得用骰子來隨機產生題目的方式還滿有趣的，
所以用了類似的方法設計了這張學習單，
藉以讓孩子們可以用撲克牌隨機產生兩個點坐標，
來反求通過此兩點的直線方程式。

圖片截自：https://twitter.com/MathyMissGrove/status/936322092794089472

操作流程：這是第一版未實施前的學習單及預想的操作流程。

未實施前的版本

1.
同質分組競賽（建議4人一桌），每人拿一張計算紙。
每桌發一副不含鬼牌的撲克牌。
2.
每一回合抽4張撲克牌，
依序填入學習單的空格內代表兩個點的坐標。
黑色代表正數，紅色代表負數，
A代表1，JQK都代表0，其餘依牌面所示數字。
例如四張牌依序為「紅心Q、黑桃7、方塊A、黑桃K」，
則兩個點的坐標為（0，7）及（-1，0）。
3.
最先求出過此兩點的直線方程式（y=ax+b形式）的人舉手，
其它人檢核答案，若正確的話，
就在學習單上面註明此回合獲勝者的姓名。
若答錯的話，則直到有人求出正確方程式為止。
4.
接著同桌一起完成ax+by=1的方程式並彼此核對答案。
確認無誤後進行下一回合。

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但實際實施後發現一些問題，
所以更改為下列的操作方式：

修正後的版本

1.
同質分組競賽（建議4人一桌），
每人拿一張計算紙。
每桌發一副不含鬼牌的撲克牌。
撲克牌只使用24張A-6，以及任選6張JQK，共計30張。
2.
每一回合抽4張撲克牌，
依序填入學習單的空格內代表兩個點的坐標。
黑色代表正數，紅色代表負數，
A代表1，JQK都代表0，其餘依牌面所示數字。
例如四張牌依序為「紅心Q、黑桃5、方塊A、黑桃K」，
則兩個點的坐標為（0，5）及（-1，0）。
3.
最先求出過此兩點的直線方程式（y=ax+b形式）的人舉手，
其它人檢核答案，若正確的話，
就在學習單上面註明此回合獲勝者的姓名。
若答錯的話，則直到有人求出正確方程式為止。

實施心得：
這是第一次介紹y=ax+b的形態。
光複習及讓孩子認識y=ax+b，
再演示一次由兩點反求直線方程式就花了我超過20分鐘的時間，
所以我暫且拋棄ax+by=1的部分不講。
在不熟練的情況下急著分組競賽，是我明知卻故犯的錯，不應該。

在比賽前我發現撲克牌數字太大可能造成求b的困難，
所以我一開始就請各桌將7-10的所有牌抽出來不用。
但這樣一樣，代表0的JQK又太多張了，所佔比例為三分之一。
幾乎每一回合都會出現0這個數字。
加上未在活動前介紹水平線及鉛垂線的特例，
當坐標是(0，5)及（0，-4）這種狀況時，
用y=ax+b是無法解的出來的。
還有坐標是（3，2）及（1，2）的情況時，
孩子也很難反應出這是一條簡單的水平直線y=2。
所以第一堂課的操作顯得非常的混亂，
中途我還中斷比賽來解釋類似的題型。

第二堂課我再用20分鐘讓各桌競賽一次，
比昨天好多了，但即使已經縮減競賽人數，
還是有些人無法與其它人抗衡而得到0分。
尤其是程度較差的孩子，
幾十分鐘過後算對的題目沒有幾題，又沒有同組的夥伴可以協助，
因此這類型的遊戲方式不適合用在難度較高的題型或程度較差的孩子上。
如果是程度較整齊且鬥志高昂的孩子在一起競賽，想必更加的有趣。

第二堂課的後半段，
我介紹了ax+by=1的形態，
（常數項為0的方程式也是一個我事前沒想到的問題，天！）
雖然這跟這章節沒什麼太大的關係，
但是我過去發現有很多孩子數學不好就是因為移項及代換的過程不熟練，
所以我在這裡願意花更多的時間來訓練孩子。
前天我留給孩子大約30分鐘來完成「lost the door key」的學習單，
依據去年的經驗，我以為孩子沒辦法在一節課完成，
但今年的情況卻比我想得好上許多，
我想就是因為我這次花了很多時間讓孩子學習找方程式的整數解。
我希望我奠的基礎都可以在日後看到豐碩的成果。

活動照片：

2019年4月1日星期一

[教學活動]快狠準小槍俠-大亂鬥版（搭配單元：一下二元一次方程式的圖形）

活動名稱：快狠準小槍俠-大亂鬥版
活動時間：一堂課
運用概念：基本運算（此處用於二元一次方程式列表求解）
所需器材：計分標記物、題目卡、筆紙。
與教學內容關聯性：★★★★★
趣味性：★★★★
教師操作難度：★
學生操作難度：★
活動可套用性：★★★★★
推薦度：★★★★★
相關文章：[數學遊戲]快狠準小槍俠(搭配：所有基礎運算)
設計記錄：
快狠準小槍俠是我很喜歡的活動，
但是其有不少缺點：
活動耗時、一次僅有少數人參與、檢核困難…等。

最近一年級上到二元一次方程式的圖形，
我覺得求解一直是孩子們很弱卻又很重要的部分，
為了加強列表求解的部分，
我設計了這樣的競賽方式，
讓全班同時都可以參與，
並且讓孩子們自己擔任檢核答案的角色，
改善了快狠準小槍俠的既有缺點。

實施流程：
1.
同質分組，每組4人為佳。
（我實施時7人一組，
程度相差太大，造成有人大幅度領先。）
2.
併桌拿筆及計算紙，桌面清空。
3.
每桌發放一疊題目卡，
牌面朝下置於桌面中央作為牌庫。
（題目示例：2x+y=-5，y=-2x+3，3x-2y=5…）
4.
輪流翻牌，翻牌的人可以決定牌的方向，
其它人不得再移動牌。
（這樣子才不會有人一直旋轉牌的方向）
5.
得出兩組整數解並寫在紙上的人可以拍牌，
其他人檢核其結果，
若兩組解都正確則獲得此牌。
若有發現錯誤的解，則第一個發現的人得一分，
答錯的人每錯一組解扣一分。
（加扣分可以用計分標記物或直接以卡牌交換來記錄）
6.
牌庫沒有牌時遊戲結束，計算每個人的得牌數，
一張牌得一分，一個扣分標記物扣一分。
分數高者獲勝。

實施心得：
我的課堂上目前分為七組，
每組依程度高低為酋長、巫師、長老及戰士。
因此今天的競賽我就分為四桌，
四個身份分別圍成一桌。

為了加強找整數解的能力以利描點完成繪圖，
所以今天的任務目標是找到兩組整數解。
因為每桌有7個人，
所以同一桌的程度落差也不小，
這也是分組教學需要留意的事情，
當組數少的時候，
同一階層的人較少，因此程度會比較齊。
例如：全班分為4組時，
同一層的只有4個人，最強的和最弱的差異不過3名。
但是全班分為7組時，
第二層的有7個人，從班上第8名到班上第14名，程度差異就很明顯。

今天這樣的競賽方式
對數感敏銳思緒敏捷的人來說特別有利，
而有些無法掌握訣竅或思考較慢的人，
一整場比賽下來拿不到任何的分數，
是非常殘酷的一個活動。

但今天在戰士桌，
我也看到很多平常畏縮沒有信心的孩子，
得到解答時霸氣拍牌的模樣。
而且酋長桌的競爭及互動也非常的熱絡。
答題後的檢核機制也讓孩子們有驗算的過程與經驗，
讓我非常喜歡這次的活動。

2019年2月19日星期二

[教學活動]兩軍交戰（搭配單元：一下二元一次式）

活動名稱：兩軍交戰（二元一次式版）
活動時間：半節課到一節課
運用概念：所有基礎運算（此處用於二元一次式）
所需器材：本學習單
與教學內容關聯性：★★★★★
趣味性：★★★★★
教師操作難度：★
學生操作難度：★★★
活動可套用性：★★★★★
推薦度：★★★★
構想來源：Algebra And Beyond
相關文章：[教學活動]兩軍交戰（搭配單元：一上一元一次方程式）
實施流程：
請參考[教學活動]兩軍交戰（搭配單元：一上一元一次方程式），
此為修改簡化後的版本，每個人部署12個部隊，
全部的部隊兵力都是等值的，並沒有1萬到4萬的差別。
以減少初次遊戲時因規則及版面太過複雜所造成的遲滯。

實施心得：
這個活動我從來沒有在學期中實施過，
主要是因為規則及記錄方法很難在短時間內讓每個孩子都清楚的瞭解。
這次還是想要試看看孩子們喜不喜歡，
所以在寒假前設計了二元一次式範圍的題目，
並將遊戲規則及版面簡化，
以讓第一次施行可以更順暢些。

上課後在黑板上講解了幾題，
讓孩子更熟悉「脫衣服」（我對解一元一次方程式的說法）的步驟。
說明示範了對戰方式後，
依上次段考成績排序進行分組，讓實力相當的人兩兩對戰。
將對戰的兩人桌椅排成背對背的，以免看到對方的兵力配置圖。

一開始大部分的人還沒進入狀況，有點混亂。
而少數孩子沒辦法確實正確的做記錄。
但經過這一次的活動，
下次就可以不用花太多時間講解規則，
可以用同樣的方式來進行對戰，甚至還可以延伸不同的玩法。

相較之下，我還是比較喜歡有兵力差異的設計。
所以下一個三國鼎立的版本，我會維持先前不等值的兵力設置。

活動照片：

2019年2月4日星期一

[學習單]西遊之觔斗雲及緊箍咒（搭配單元：一下二元一次式的加減合併）

觔斗雲（兒歌版）

緊箍咒（唐詩版）（註：本圖是有誤未修正的版本）

活動名稱：西遊之觔斗雲及緊箍咒

活動器材：學習單、鉛筆、橡皮擦
活動時間：半節課
適合單元：二元一次式的加減合併
關鍵字：式子的合併
與教學內容關聯性：★★★★★
趣味性：★★★★
操作難度：★
遊戲可套用性：★★
推薦度：★★★★★
構想來源：數學習作的謎題、閩南語燈謎
相關文章：[數學遊戲]金字塔建築師（搭配單元：一上整數的加減）
出版作品：

(2020.02.07)康軒版一下課本數學好好玩

故事情境：
1.觔斗雲
悟空翻一個觔斗來去不過三里路，
為了雲遊四海，懇求菩提祖師傳授騰雲之術。
祖師授予觔斗雲並教他駕馭之術，
但卻賣個關子，要悟空自行解開咒語，
咒語是一首兒歌（半夜睡不著覺，把咒語啍成歌），
提示藏在學習單中。
聰明的你，可以幫悟空解出來嗎？
2.緊箍咒
悟空大鬧天宮後，被壓在五指山下五百年。
是日，三藏來到悟空面前，拿出觀音給的緊箍兒套在悟空頭上，
一時間卻忘了緊箍咒怎麼念，
只記得是一首未來世界的唐詩（註：此詩作者出生時，三藏早已過世）。
還好觀音有留下提示，請幫三藏憶起正確的咒語。

設計構想：
當時在設計金字塔建築師的學習單時，
就想到可以將此規則套用於二元一次式的合併上。
而近日也在一上的數學習作裡看到類似的謎題，
所以就搭配之前很喜歡的閩南語謎語設計了「觔斗雲」這份學習單。

之前我利用西遊記的故事為背景設計了盤絲洞與來者何妖兩張學習單，
一直很想再多設計幾個與西遊記有關的活動，
所以「觔斗雲」除了使用閩南語謎語，
還加入了西遊記的情境。

實施流程：
1.
正確填完學習單左下角虛線內的式子。
填寫的規則：每個式子都是左邊三個式子的總和。
「觔斗雲」是簡單的合併，
「緊箍咒」則是加上分配律（去括號）的概念。
註：
「觔斗雲」較簡單，建議分派為個人任務；
「緊箍咒」較難，建議分派為小組任務。

斛斗雲規則示例：每個式子都是左邊三個式子加起來的結果

緊箍咒規則示例：
每個式子都是左邊三個式子加起來的結果，
計算總和時，式子必須乘上左上角方格內的數字，

2.
將第2列到第6列的總和分別填在右下角的格內，
對照答案得到咒語的提示。
（解答及謎底無法在此處公開）

註：
每個式子的出現是有先後次序的，
教師巡桌檢核時應先從較早出現的式子開始為孩子檢查，
以免孩子花太多時間在無謂的虛耗上。

測試記錄：

緊箍咒的測試回饋-1

緊箍咒的測試回饋-2

實施心得：待補
活動照片：待補
夥伴回饋：
[2019.02.11 金門金城國中李芷維]
活動名稱:西遊記之觔斗雲
分組方式:一人一組
進行時間:35分鐘
班級組成:兩班三組8人
活動材料：學習單+草稿紙
活動流程:
1)先於黑板複習多項式加減法，再來發下學習單+草稿紙，講解學習單解題規則。(5分鐘)
2)學生個自填寫學習單，寫好一個答案，舉手，老師過去逐一協助對答案，引導學收先寫第一部分問題，寫好後老師在引導第二部分每列加起來找出對應的動物，最後看學生狀況提醒用台語唸(30分鐘)
操作過程中的發現與心得:
1）過程中發現，學生還不熟悉規則，花了一點時間一個一個確認。
2）由於一個答案錯會影響下一題的解題，所以我請學生解出一題就來和我對答案。
3）最後動物的對照，有學生發現可以不用把每一列相加完再做對照，可以直接看x和的係數直接找到動物。

2018年6月4日星期一

[教學活動]Where is the banana？（搭配單元：一下線型函數圖形的交點坐標）

活動名稱：Where is the banana？
活動時間：1節課
搭配概念：線型函數圖形的交點坐標
所需器材：題目投影片、地板空間
與教學內容關聯性：★★★★★
趣味性：★★★★
教師操作難度：★
學生操作難度：★★★
活動可套用性：★★★
推薦度：★★★★
操作流程：
1.
因空間限制，將全班分為兩組（此節課以男女分組）。
地面利用磁磚劃分為3x4的方格，
各格分別標上1至12。

如示，地上方格用粉筆寫，
或是用膠布貼上數字。

2.
按座號輪流上場PK，投影片上呈現兩個線型函數，
孩子們心算求出兩函數圖形的交點。
3.
回答時需用手與腳回答，
（1）用「手」按的格子代表x坐標，
用「腳」踩住的格子代表y坐標；
（2）「右」代表正數，「左」代表負數，沒按或沒踩代表0。
（右正左負與數線的方向一致，容易記憶，順便加深印象）
（3）平行（沒有交點）則以雙手比出平行（//）的動作。
（4）身體其他部分騰空後喊「香蕉在這裡！」，
待老師確認後才可以移動及離開。

例如：
答案如果是（-8，5），
就以左手按住8，右腳踩住5，
身體其他部分騰空後喊「香蕉在這裡」。
答案如果是（0,3），
右腳站在3上面喊「香蕉在這裡」
答案如果是（0,0），
站在3x4方格外喊「香蕉在這裡」。

實施記錄：
這堂課我最主要的教學目標是求出兩線型函數的交點坐標，
附加的訓練目標為「在心中解一元一次方程式」。
在設計時我預想在操作上會遇到的幾個困難是：
1.心算求解具有難度。
2.一次只有兩個人比賽，其他未參賽者容易分心。
3.求出解後要以肢體表示答案，
孩子必須額外記得左右及手腳所代表的意思。

實際上操作時，
我發現最大的困難仍然是心算求解，
只有少部分程度較佳的孩子能夠快速的找出交點坐標。
一些程度不佳的孩子很明顯的是站著等待被淘汰的，
因為這些孩子本來態度就比較消極，
在學習上也缺乏信心，
他們不認為自己可以成功及擊敗別人。
這點是我目前不曉得該如何克服的。

另外，因為不想用膠布在地板上貼數字，
避免移除後殘膠造成的髒亂，
所以我臨時用粉筆在磁磚上寫上數字，
但字跡較不清晰，也容易被抹掉，
孩子在心中算出答案之後，
在找數字方格的時候花了點時間。

活動照片：